Egalités et inégalités
Sommaire
Opérations sur les égalités
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une égalité sans changer l'égalité.
- On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul sans changer l'égalité.
Dans un rectangle, nous avons la formule suivante du périmètre $p$ en fonction de la longueur $L$ et de la largeur $\ell$ : $$p=2L+2\ell.$$
On souhaite exprimer la longueur $L$ en fonction du périmètre $p$ et de la largeur $\ell$.
On a $p=2L+2\ell$ donc $$p-2\ell=2L$$ et finalement $$L=\frac{p-2\ell}{2}.$$ ou encore $$L=\frac{p}{2}-\ell.$$
Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs tels que $a^2=b^2$, alors $a$=$b.$
Supposons que $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs tels que $a^2=b^2$.
Alors $a^2-b^2=0$ et $(a-b)(a+b)=0$.
Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Donc $a-b=0$ ou $a+b=0$.
Si $a-b=0$ alors $a=b$.
Si $a+b=0$ alors $a=-b$ et comme $a$ et $b$ sont positifs, $a=-b$ est impossible.
Donc $a=b$.
Attention, cette propriété n'est valable que si $a$ et $b$ sont positifs ou nuls.
Par exemple, $(-5)^2=5^2$ mais $-5\neq 5$.
Si deux nombres réels positifs $a$ et $b$ sont égaux, alors $\sqrt{a}=\sqrt{b}.$
Un carré a une aire égale à $x-2$ pour $x>2$. On souhaite exprimer la longueur du côté du carré en fonction de son aire.
L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté. Notons $a$ la longueur du côté du carré. On a donc $a^2=x-2$.
Comme $x-2>0$, on a $$a=\sqrt{x-2}.$$
Attention, cette propriété n'est valable que pour des nombres positifs ou nuls.
Opérations sur les inégalités
$a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels.
$$a < b \iff a+c < b+c$$- $\frac{3}{7} < 1$ d'où $\frac{3}{7}+1 < 1+1$ donc $\frac{3}{7}+1 < 2$.
- $\pi>3$ d'où $\pi+1>3+1$ donc $\pi+1>4$.
$a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres réels.
Si $a < b$ et $c < d$ alors $$a+c < b+d.$$- $\frac{3}{7} < 1$ et $-2 < \frac{1}{2}$ d'où $\frac{3}{7}+(-2) < 1+\frac{1}{2}$ donc $\frac{3}{7}-2 < \frac{3}{2}$.
- $\pi>3$ et $-1>-2$ d'où $\pi+(-1)>3+(-2)$ donc $\pi-1>1$.
$a$, $b$ et $k$ désignent des nombres réels.
- Si $k > 0$ alors $$a < b \iff ka < kb$$
- Si $k < 0$ alors $$a < b \iff ka > kb$$
- $\frac{3}{7} < 1$ d'où $\frac{3}{7}\times 12 < 1\times 12$ donc $\frac{36}{7} < 12$.
- $\pi>3$ d'où $\pi\times (-4) < 3\times (-4)$ donc $-\pi < -12$.
$a$, $b$ désignent des nombres réels positifs.
$$a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$$- $\frac{3}{7} < 1$ d'où $\sqrt{\frac{3}{7}} < \sqrt{1}$ donc $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} < 1$.
- $\pi>3$ d'où $\sqrt{\pi} > \sqrt{3}$.
Ces propriétés autorisent donc un certains nombres d'opérations sur les inégalités.
Considérons un rectangle dont le périmètre est inférieur à $\SI{10}{cm}$ et dont la longueur est supérieure à $\SI{2}{cm}$. Quelle est la plus petite valeur possible de la largeur de ce rectangle ?
On note $\ell$ la largeur du rectangle. On a d'une part $2L+2\ell < 10$ et d'autre part $L>2$.
$$\begin{align*} 2L+2\ell &< 10 \\ 2\ell &< 10-2L \\ \ell &< 5-L \end{align*}$$On a donc $\ell < 5-L$ et $L>2$ ou encore $2 < L$. On peut donc ajouter les deux inégalités.
$$\begin{align*} \ell +2&< 5-L+L \\ \ell +2&< 5\\ \ell &< 5-2 \\ \ell &< 3 \end{align*}$$La largeur du rectangle est donc strictement inférieure à $\SI{3}{cm}$.
Considérons un carré dont l'aire est supérieure à $\SI{9}{cm^2}$. Quelle est la plus petite valeur possible du côté de ce carré ?
On note $a$ la longueur du côté du carré. On a $a\geqslant 0$ et $a^2>9$.
$$\begin{align*} a^2 &> 9 \\ a &> \sqrt{9} \\ a &> 3 \end{align*}$$Le côté du carré est donc strictement supérieur à $\SI{3}{cm}$.
Comparer deux quantités
$a$ et $b$ désignent des nombres réels.
- Si $a-b = 0$ alors $a = b$.
- Si $a-b > 0$ alors $a > b$.
- Si $a-b < 0$ alors $a < b$.
- Si $b\neq 0$ et $\frac{a}{b} > 1$ alors $a > b$.
- Si $b\neq 0$ et $\frac{a}{b} < 1$ alors $a < b$.
Comparons $a=\frac{3}{7}$ et $b=\frac{1}{2}$ de deux manières.
$$\frac{3}{7}-\frac{1}{2}=\frac{6}{14}-\frac{7}{14}=-\frac{1}{14} < 0$$
On a aussi $$\frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{7}\times \frac{2}{1}=\frac{6}{7} < 1$$
Dans chacun des cas, on en déduit que $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.
On peut comparer deux quantités en les soustrayant. Si le résultat est positif, la première quantité est plus grande que la seconde. Si le résultat est négatif, la première quantité est plus petite que la seconde. Si le résultat est nul, les deux quantités sont égales.
On peut aussi comparer deux quantités en les divisant en s'assurant que l'on ne divise pas par zéro. Si le résultat est supérieur à $1$, la première quantité est plus grande que la seconde. Si le résultat est inférieur à $1$, la première quantité est plus petite que la seconde.
Pour comparer deux quantités il suffit d'étudier le signe de leur différence.
On se propose de comparer $\dfrac{5x-3}{x-4}$ et $5$ pour $x\in]4{;}+\infty[$
Remarquons tout d'abord que $\dfrac{5x-3}{x-4}$ est bien défini sur $]4{;}+\infty[$
Etudions le signe de la différence :
$$\begin{align*} \dfrac{5x-3}{x-4}-5&=\dfrac{5x-3}{x-4}-\dfrac{5(x-4)}{x-4}\\ &=\dfrac{5x-3-5(x-4)}{x-4}\\ &=\dfrac{5x-3-5x+20}{x-4}\\ &=\dfrac{17}{x-4} \end{align*}$$Comme $x\in]4{;}+\infty[$, on a $x>4$ c'est-à-dire $x-4>0$. Par conséquent $\dfrac{17}{x-4}>0$.
On en déduit finalement $\dfrac{5x-3}{x-4}-5>0$ puis $\dfrac{5x-3}{x-4}>5$.
Pour comparer deux quantités positives, il suffit de comparer leur quotient à $1$.
Comparons $3^n$ et $3^{n+1}$ pour tout $n$ entier.
On a $3^n>0$ et $3^{n+1}>0$.
On a aussi $$\frac{3^{n+1}}{3^n}=\frac{3\times 3^n}{3^n}=3>1$$
On en déduit que $3^{n+1}>3^n$.
Pour comparer deux quantités positives, il suffit d'étudier la différence de leur carré.
On se propose de comparer $2+\sqrt{3}$ et $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
Tout d'abord, remarquons que ces deux valeurs sont positives.
$$ \begin{align*} (2+\sqrt{3})^2&=2^2+2\times 2\times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2\\ &=4+4\sqrt{3}+3\\ &=7+4\sqrt{3} \end{align*} $$
On en déduit que $$(2+\sqrt{3})^2=\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^2$$ et donc $$2+\sqrt{3}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}.$$