Proportions

Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. Désignons par $n_A$ le nombre d'éléments de $A$ et par $n_E$ le nombre d'éléments de $E$. La proportion d'éléments de $A$ parmi ceux de $E$ est le quotient

$p=\dfrac{n_A}{n_E}$

Cette proportion est souvent exprimée en $\%$.

Décrivez $A$ et $E$, exprimez la proportion $p$ puis calculez.

Dans une classe de $20$ élèves, $12$ ont choisi de participer à un atelier de robotique. Quelle est la proportion d'élèves qui participent à cet atelier ?
Lors d'une sortie au musée, un groupe de $25$ élèves a été divisé en deux. Parmi eux, $15$ ont choisi de suivre la visite guidée. Quelle est la proportion d'élèves ayant opté pour la visite guidée ?
Dans une salle de sport, il y a $30$ personnes et $\SI{70}{\%}$ d'entre elles participent à un cours de fitness. Combien de personnes participent à ce cours ?
Un groupe de $42$ personnes s'est inscrit à un concours de cuisine, et $\dfrac{5}{6}$ d'entre eux sont déjà en équipe. Combien de personnes sont déjà en équipe pour le concours ?
$18$ membres d'un club de lecture représentent $\dfrac{3}{5}$ des participants réguliers. Combien y a-t-il de membres réguliers dans ce club ?
Lors d'un tournoi de jeux vidéo, $45$ joueurs représentent une proportion de $\num{0.15}$ de l'ensemble des participants. Calculez le nombre total de participants au tournoi.

Les élèves de la classe sont l'ensemble $E$ et ceux qui participent à l'atelier de robotique sont l'ensemble $A$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ p&=\dfrac{12}{20}\\ p&=\dfrac{3}{5} \end{align*}$$
La proportion d'élèves ayant choisi l'atelier de robotique est de $\dfrac{3}{5}$.
Les élèves du groupe sont l'ensemble $E$ et ceux qui suivent la visite guidée sont l'ensemble $A$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ p&=\dfrac{15}{25}\\ p&=\dfrac{3}{5} \end{align*}$$
La proportion d'élèves ayant suivi la visite guidée est de $\dfrac{3}{5}$.
Les personnes de la salle de sport sont l'ensemble $E$ et celles qui participent au cours de fitness sont l'ensemble $A$. On a :

$\SI{70}{\%}$ représente une proportion de $\dfrac{70}{100}$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ \dfrac{70}{100}&=\dfrac{n_A}{30}\\ n_A&=\dfrac{70}{100}\times 30\\ n_A&=21 \end{align*}$$
Il y a $21$ personnes qui participent au cours de fitness.
Les participants au concours de cuisine sont l'ensemble $E$ et ceux qui sont déjà en équipe sont l'ensemble $A$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ \dfrac{5}{6}&=\dfrac{n_A}{42}\\ n_A&=35 \end{align*}$$
Il y a $35$ personnes déjà en équipe pour le concours de cuisine.
Les membres du club de lecture sont l'ensemble $E$ et les participants réguliers sont l'ensemble $A$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ \dfrac{3}{5}&=\dfrac{18}{n_E}\\ n_E&=30 \end{align*}$$
Il y a $30$ membres réguliers dans le club de lecture.
Les participants au tournoi de jeux vidéo sont l'ensemble $E$ et les joueurs sont l'ensemble $A$. On a :
$$\begin{align*} p&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ \num{0.15}&=\dfrac{45}{n_E}\\ \dfrac{15}{100}&=\dfrac{45}{n_E}\\ n_E&=\dfrac{45\times 100}{15}\\ n_E&=\dfrac{3\times 3\times 5\times 100}{3\times 5}\\ n_E&=300 \end{align*}$$
Le nombre total de participants au tournoi de jeux vidéo est de $300$.

Exprimez les proportions suivantes sous forme de pourcentage :

$\dfrac{3}{10}$
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{4}{5}$

$\num{0.15}$
$\num{0.252}$
$\num{0.0705}$
$\num{0.6253}$
$\num{0.2}$
$\num{0.06}$

$$\begin{align*} \dfrac{3}{10}&=\dfrac{3\times 10}{10\times 10}\\ \dfrac{3}{10}&=\dfrac{30}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{3}{10}$ d'une quantité correspond à $\SI{30}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{3}{5}&=\dfrac{3\times 20}{5\times 20}\\ \dfrac{3}{5}&=\dfrac{60}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{3}{5}$ d'une quantité correspond à $\SI{60}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}&=\dfrac{1\times 50}{2\times 50}\\ \dfrac{1}{2}&=\dfrac{50}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{1}{2}$ d'une quantité correspond à $\SI{50}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{1}{5}&=\dfrac{1\times 20}{5\times 20}\\ \dfrac{1}{5}&=\dfrac{20}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{1}{5}$ d'une quantité correspond à $\SI{20}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{3}{4}&=\dfrac{3\times 25}{4\times 25}\\ \dfrac{3}{4}&=\dfrac{75}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{3}{4}$ d'une quantité correspond à $\SI{75}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{2}{5}&=\dfrac{2\times 20}{5\times 20}\\ \dfrac{2}{5}&=\dfrac{40}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{2}{5}$ d'une quantité correspond à $\SI{40}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{1}{8}&=\dfrac{1\times \num{125}}{8\times \num{125}}\\ \dfrac{1}{8}&=\dfrac{\num{125}}{1000}\\ \dfrac{1}{8}&=\dfrac{\num{12.5}}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{1}{8}$ d'une quantité correspond à $\SI{\num{12.5}}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \dfrac{4}{5}&=\dfrac{4\times 20}{5\times 20}\\ \dfrac{4}{5}&=\dfrac{80}{100} \end{align*}$$
$\dfrac{4}{5}$ d'une quantité correspond à $\SI{80}{\%}$ de cette quantité.
$$\begin{align*} \num{0.15}&=\dfrac{15}{100} \end{align*}$$
$\num{0.15}$ correspond à $\SI{15}{\%}$.
$$\begin{align*} \num{0.252}&=\SI{\num{25.2}}{100} \end{align*}$$
$\num{0.252}$ correspond à $\SI{25.2}{\%}$.
$$\begin{align*} \num{0.0705}&=\dfrac{7.05}{100} \end{align*}$$
$\num{0.0705}$ correspond à $\SI{7.05}{\%}$.
$$\begin{align*} \num{0.6253}&=\dfrac{\num{62.53}}{100} \end{align*}$$
$\num{0.6253}$ correspond à $\SI{62.53}{\%}$.
$$\begin{align*} \num{0.2}&=\dfrac{20}{100} \end{align*}$$
$\num{0.2}$ correspond à $\SI{20}{\%}$.

Calculer $\SI{t}{\%}$ d'une quantité $Q$ revient à multiplier cette quantité par $\dfrac{t}{100}$.

$\SI{t }{\%} \text{ de }Q = Q \times \dfrac{t}{100}$

$\SI{27}{\%}$ de $300$
$\SI{40}{\%}$ de $650$
$\SI{76}{\%}$ de $250$
$\SI{32}{\%}$ de $\num{2.5}$
$\SI{15}{\%}$ de $244$
$\SI{5}{\%}$ de $400$
$\SI{50}{\%}$ de $1200$

$$\SI{27}{\%} \text{ de }300 = 300 \times \num{0.27} = 81$$
$$\SI{40}{\%} \text{ de }650 = 650 \times \num{0.4} = 260$$
$76=38\times 2= 19\times 4$.
$$\SI{76}{\%} \text{ de }250 = 250 \times \num{0.76} = 190$$
$$\SI{32}{\%} \text{ de }\num{2.5} = \num{2.5} \times \dfrac{32}{100} = 0.8$$
$$\SI{15}{\%} \text{ de }244 = 244 \times \dfrac{15}{100} = 36.6$$
$$\SI{5}{\%} \text{ de }400 = 400 \times \dfrac{5}{100} = 20$$
$$\SI{50}{\%} \text{ de }1200 = 1200 \times \dfrac{50}{100} = 600$$

Proportions échelonnées

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ telles que $A\subset B\subset E$. Désignons par $p_1$ la proportion d'éléments de $A$ parmi ceux de $B$ et par $p_2$ la proportion d'éléments de $B$ parmi ceux de $E$. La proportion d'éléments de $A$ parmi ceux de $E$ est le produit des deux proportions :

$p=p_1\times p_2$

On a : $$p_1=\dfrac{n_A}{n_B}\quad\text{ et }\quad p_2=\dfrac{n_B}{n_E}$$ Donc : $$\begin{align*} p_1\times p_2&=\dfrac{n_A}{n_B}\times\dfrac{n_B}{n_E}\\ p_1\times p_2&=\dfrac{n_A}{n_E}\\ p_1\times p_2&=p \end{align*}$$

$\SI{75}{\%}$ des employés de l'entreprise partent en vacances en juillet (les juilletistes) et les autres en août (les aoûtiens). $\frac{1}{6}$ des juilletistes partent au bord de mer, les autres à la montagne. $\frac{2}{3}$ des aoûtiens partent au bord de mer, les autres à la montagne. Pour chacune des proportions suivantes, indiquez les ensembles $A$, $B$ et $E$ puis calculez :

Proportion des employés qui partent au bord de mer en juillet.
Proportion des employés qui partent à la montagne en août.
Proportion des employés qui partent au bord de mer en août.

Quelle est la proportion des employés qui partent en vacances à la mer ?

Soit $B$ l'ensemble des juilletistes, $A$ l'ensemble des juilletistes partant au bord de mer et $E$ l'ensemble des employés. On a $$A\subset B\subset E.$$

La proportion de juilletistes parmi les employés est de $\SI{75}{\%}$, soit $p_2=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$.

La proportion des juilletistes partant au bord de mer parmi les juilletistes est de $\dfrac{1}{6}$, soit $p_1=\dfrac{1}{6}$.

Notons $p$ la proportion des employés partant au bord de mer en juillet. On a :
$$\begin{align*} p &= p_1\times p_2\\ p &= \dfrac{1}{6}\times\dfrac{75}{100}\\ p &= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{4}\\ p &= \dfrac{1}{8} \end{align*}$$
La proportion des employés qui partent au bord de mer en juillet est donc de $\dfrac{1}{8}$.
Soit $B$ l'ensemble des aoûtiens, $A$ l'ensemble des aoûtiens partant à la montagne et $E$ l'ensemble des employés. On a $$A\subset B\subset E.$$

La proportion des aoûtiens parmi les employés est de $\SI{25}{\%}$, soit $p_2=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.

La proportion des aoûtiens partant à la montagne parmi les aoûtiens est de $\dfrac{1}{3}$, soit $p_1=\dfrac{1}{3}$.

Notons $p$ la proportion des employés partant à la montagne en août. On a :
$$\begin{align*} p &= p_1\times p_2\\ p &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{25}{100}\\ p &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}\\ p &= \dfrac{1}{12} \end{align*}$$
La proportion des employés qui partent à la montagne en août est de donc $\dfrac{1}{12}$.
Soit $B$ l'ensemble des aoûtiens, $A$ l'ensemble des aoûtiens partant au bord de mer et $E$ l'ensemble des employés. On a $$A\subset B\subset E.$$

La proportion des aoûtiens parmi les employés est de $\SI{25}{\%}$, soit $p_2=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.

La proportion des aoûtiens partant au bord de mer parmi les aoûtiens est de $\dfrac{2}{3}$, soit $p_1=\dfrac{2}{3}$.

Notons $p$ la proportion des employés partant au bord de mer en août. On a :
$$\begin{align*} p &= p_1\times p_2\\ p &= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{25}{100}\\ p &= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}\\ p &= \dfrac{1}{6} \end{align*}$$
La proportion des employés qui partent au bord de mer en août est donc de $\dfrac{1}{6}$.

Proportion d'employés partant en vacances à la mer :

Soit $E$ l'ensemble des employés.

Soit $A$ l'ensemble des employés partant à la mer en juillet.

Soit $B$ l'ensemble des employés partant à la mer en août.

Notons $p_1$ la proportion des employés partant à la mer en juillet et $p_2$ la proportion des employés partant à la mer en août.

On a $p_1=\dfrac{1}{8}=\frac{n_A}{n_E}$ et $p_2=\dfrac{1}{6}=\frac{n_B}{n_E}$.

Notons $p$ la proportion des employés partant à la mer. On a :

$$\begin{align*} p &= \frac{n_A+n_B}{n_E}\\ p &= \frac{n_A}{n_E}+\frac{n_B}{n_E}\\ p &= p_1+p_2\\ p &= \frac{1}{8}+\frac{1}{6}\\ p &= \frac{3}{24}+\frac{4}{24}\\ p &= \frac{7}{24} \end{align*}$$

La proportion des employés qui partent en vacances à la mer est donc de $\frac{7}{24}$.

Taux d'évolution

On considère une quantité initiale $Q_i$ et une quantité finale $Q_f$. On appelle taux d'évolution de la quantité $Q$ le quotient :

$\text{Taux d'évolution} = \dfrac{Q_f - Q_i}{Q_i}$

Selon le signe du taux d'évolution, on peut dire que la quantité a augmenté ou diminué. Ce taux est souvent exprimé en pourcentage de hausse ou de baisse.

$$Q_i~\overset{\frac{Q_f - Q_i}{Q_i}=\frac{t}{100}}{\underset{\nearrow \SI{t}{\%}}{\xrightarrow{\hspace{1.5cm}}}}~Q_f$$

$$Q_i~\overset{\frac{Q_f - Q_i}{Q_i}=-\frac{t}{100}}{\underset{\searrow \SI{t}{\%}}{\xrightarrow{\hspace{1.5cm}}}}~Q_f$$

Exprimez les taux d'évolution en pourcentages (de hausse ou de baisse).

Lors d'une expérience en laboratoire, le volume d'un produit chimique dans une éprouvette passe de $\SI{1.2}{L}$ à $\SI{0.9}{L}$ après évaporation. Quel est le taux d'évolution du volume de ce produit chimique ?
Un magasin propose une réduction sur un article dont le prix initial était de $40$€ et qui est maintenant vendu à $32$€. Quel est le taux de réduction appliqué sur cet article ?
Un plongeur parvenait à maintenir une apnée de $\SI{52.5}{s}$, il allonge son temps à $\SI{126}{s}$. Quel est le taux d'évolution de son temps d'apnée ?

$$\begin{align*} \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{Q_f - Q_i}{Q_i}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{0.9 - 1.2}{1.2}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{-0.3}{1.2}\\ \text{Taux d'évolution} &= -\dfrac{3}{12}\\ \text{Taux d'évolution} &= -\dfrac{1}{4}\\ \text{Taux d'évolution} &= -\dfrac{25}{100} \end{align*}$$
Le volume du produit chimique a diminué de $25\%$.
$$\begin{align*} \text{Taux de réduction} &= \dfrac{Q_f - Q_i}{Q_i}\\ \text{Taux de réduction} &= \dfrac{32 - 40}{40}\\ \text{Taux de réduction} &= \dfrac{-8}{40}\\ \text{Taux de réduction} &= -\dfrac{1}{5}\\ \text{Taux de réduction} &= -\dfrac{20}{100} \end{align*}$$
Le prix de l'article a diminué de $20\%$.
$$\begin{align*} \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{Q_f - Q_i}{Q_i}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{126 - 52.5}{52.5}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{73.5}{52.5}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{147}{105}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{7}{5}\\ \text{Taux d'évolution} &= \dfrac{140}{100} \end{align*}$$
Le temps du plongeur a augmenté de $140\%$.