Manipuler les vecteurs
Seconde Générale et Technologique
E-01
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. La translation qui transforme $A$ en $B$ est appelée la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Dans chaque cas, nommez le point obtenu par la translation du point $A$ par le vecteur donné.
  1. Image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.
  1. $2\overrightarrow{u}$
  2. $-\overrightarrow{u}$
  3. $\overrightarrow{v}$
  4. $-\overrightarrow{v}$
  5. $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$
  6. $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$
  7. $2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$
  8. $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$
  9. $\overrightarrow{JH}$
  10. $\overrightarrow{DJ}$
  11. $\overrightarrow{JG}$
  12. $\overrightarrow{BH}$
Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même direction (parallèle), le même sens et la même longueur.
Recopiez et complétez.
  1. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{J\ldots}$
  2. $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{H\ldots}$
  3. $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{\ldots J}$
  4. $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{\vphantom{AH}\ldots}=\overrightarrow{\vphantom{DC}\ldots}$
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs du plan.
  1. Placez l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$. Notons-la $D$.
  2. Recopiez et complétez : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{\vphantom{BC}\ldots}$
  3. Quelle est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ ?
  4. Quelle est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ ?
  5. Quelle nouvelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Alors :
$ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes.
  1. Construire le point $F$.
  2. Quelles égalités de vecteurs peut-on en déduire ?
  3. Montrez que $DCEF$ est un parallélogramme.
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Alors :
Tracer une figure dans laquelle $EFGH$ et $EFHJ$ sont des parallélogrammes. Que peut-on en déduire sur la nature de $H$ ?

$EFGH$ est un parallélogramme.

Donc ${\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}.}$

$EFHJ$ est un parallélogramme.

Donc ${\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{JH}.}$

D'où ${\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{JE}.}$

Donc $H$ est le milieu de $[GJ]$.

$ADC$ est un triangle isocèle en $A.$
Soit $B$ le point tel que $ADCB$ soit un parallélogramme.
Soit $E$ et $F$ les symétriques respectifs de $C$ et $B$ par rapport à $A$.
Quelle est la nature de $DAEF$ ?

  • On se propose tout d'abord de démontrer que $DCAF$ est un parallélogramme.

    • $ADCB$ est un parallélogramme donc $${\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}}$$

    • $F$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ donc $${\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AF}}$$

    • D'où $${\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}}$$

    • Donc $DCAF$ est un parallélogramme.

  • On se propose maintenant de démontrer que $DAEF$ est un parallélogramme.

    • $DCAF$ est un parallélogramme donc $${\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DF}}$$

    • $E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$ donc $${\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AE}}$$

    • D'où $${\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AE}}$$

    • Donc $DAEF$ est un parallélogramme.

  • On se propose de démontrer pour finir que $DAEF$ est un losange

    • $DAE$ est un triangle isocèle en $A$ donc $$DA=AC$$

    • $E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$ donc $$AC=AE$$

    • D'où $$DA=AE$$

    • On sait de plus que $DAEF$ est un parallélogramme

    • Or si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange

    • Donc $DAEF$ est un losange.