Géométrie
Seconde Générale et Technologique
D-01

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$ est le point d'intersection $H$ de la droite $(d)$ et de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$.
E A B C D
Reproduisez la figure à main levée, puis indiquez les projetés orthogonaux si ce sont des points nommés. Dans le cas contraire, tracez à main levée le projeté orthogonal et lui donner un nom.
  1. $B$ sur $(CD)$
  2. $A$ sur $(BC)$
  3. $C$ sur $(AB)$
  4. $B$ sur $(AC)$
  5. $A$ sur $(BE)$
  6. $B$ sur $(CE)$
  7. $E$ sur $(CA)$
  8. $D$ sur $(BC)$
  9. $D$ sur $(EB)$
  10. $E$ sur $(CD)$
  11. $E$ sur $(BC)$

  1. Le projeté orthogonal de $B$ sur $(CD)$ est $$D$$

  2. Le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ est $$A_1$$

  3. Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $$D$$

  4. Le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ est $$E$$

  5. Le projeté orthogonal de $A$ sur $(BE)$ est $$E$$

  6. Le projeté orthogonal de $B$ sur $(CE)$ est $$E$$

  7. Le projeté orthogonal de $E$ sur $(CA)$ est $$E$$

  8. Le projeté orthogonal de $D$ sur $(BC)$ est $$D_1$$

  9. Le projeté orthogonal de $D$ sur $(EB)$ est $$D_2$$

  10. Le projeté orthogonal de $E$ sur $(CD)$ est $$E_1$$

  11. Le projeté orthogonal de $E$ sur $(BC)$ est $$E_2$$

E A_1 D_1 D_2 E_1 E_2 A B C D
D E F A B C
Les points qui semblent alignés le sont. Mêmes consignes que dans l'exercice précédent.
  1. $C$ sur $(BD)$
  2. $B$ sur $(AC)$
  3. $B$ sur $(DF)$
  4. $E$ sur $(DC)$
  5. $D$ sur $(BC)$
  6. $D$ sur $(AB)$
  7. $A$ sur $(EB)$
  8. $F$ sur $(AB)$
Dans un triangle, le projeté orthogonal d'un sommet sur le côté opposé est le pied de la hauteur issue de ce sommet.
A B C H_1 H_2 H_3 D E F H_4 H_5 H_6

Considérons un triangle $ABC$. La hauteur issue de $A$ coupe $(BC)$ en $H_3$. C'est aussi le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

De même $H_1$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et c'est aussi le pied de la hauteur issue de $C$.

Enfin, $H_2$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ et c'est aussi le pied de la hauteur issue de $B$.

Pour calculer l'aire d'un triangle, on peut utiliser la formule $$\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}.$$ Dans le cas d'un triangle rectangle, la hauteur est la longueur de l'un des côtés.

Dans le cas de $ABC$, on obtient trois formules pour calculer l'aire du triangle $ABC$ :

$$\text{Aire}(ABC) = \frac{BC \times H_3A}{2} = \frac{AB \times H_1C}{2} = \frac{AC \times H_2B}{2}.$$
Placez dans un repère orthonormé $A(-3~;~2)$, $B(6~;~-1)$ et $C(-1~;~-2)$ et déterminez dans le triangle $ABC$, par lecture graphique, les coordonnées :
  1. du pied de la hauteur issue de $C$ ;
  2. du pied de la hauteur issue de $B$ ;
  3. du point de concours des trois hauteurs.
1 1 O
  1. 1 1 O

    Les coordonnées du pied de la hauteur issue de $C$ semblent être $(0~;~1).$

  2. 1 1 O E

    Les coordonnées du pied de la hauteur issue de $B$ semblent être $(0~;~-4).$

  3. 1 1 O E

    Les coordonnées du point de concours des trois hauteurs semblent être $(-2~;~-5)$

Tracez un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=\SI{3}{\cm}$ et $AC=\SI{4}{\cm}$. Notons $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
  1. Calculez l'aire du triangle $ABC$.
  2. Calculez $BC$.
  3. Déterminez une autre manière de calculer l'aire du triangle $ABC$ pour en déduire la longueur de $AH$.
  4. Calculez $BH$.
  5. Calculez l'aire du triangle $AHC$.

  1. L'aire d'un triangle est donnée par la formule : $$\frac{base\times hauteur}{2}.$$

    L'aire du triangle $ABC$ est $$\begin{align*} \mathcal{A}_{ABC}&=\frac{AB\times AC}{2}\\ &=\frac{3\times 4}{2}\\ &=\SI{6}{\cm^2} \end{align*}$$

  2. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    D'après le théorème de Pythagore, on a : $$BC^2=AB^2+AC^2.$$

    Donc : $$BC^2=3^2+4^2=9+16=25.$$

    Donc : $$BC=\sqrt{25}=\SI{5}{\cm}.$$

  3. Une autre manière de calculer l'aire du triangle $ABC$ est de considérer la hauteur issue de $A$.

    On a : $$\mathcal{A}_{ABC}=\frac{BC\times AH}{2}.$$

    Donc : $$6=\frac{5\times AH}{2}.$$

    Donc : $$AH=\frac{6\times 2}{5}=\SI{2.4}{\cm}.$$

  4. $ABH$ est un triangle rectangle en $H$.

    D'après le théorème de Pythagore, on a : $$BA^2=BH^2+AH^2.$$

    Donc : $$BH^2=BA^2-AH^2=3^2-2.4^2=9-5.76=3.24.$$

    Donc : $$BH=\sqrt{3.24}=\SI{1.8}{\cm}.$$

  5. L'aire du triangle $AHC$ est : $$\mathcal{A}_{AHC}=\frac{AH\times HC}{2}.$$

    $HC=BC-BH=5-1.8=3.2$.

    Donc : $$\mathcal{A}_{AHC}=\frac{2.4\times 3.2}{2}=\SI{3.84}{\cm^2}.$$

La distance entre un point et une droite est la longueur du plus court segment joignant le point à la droite.
La distance entre un point et une droite est la longueur du segment joignant le point à son projeté orthogonal sur la droite.
A B C H distance de $A$ à $d$

Soit $A$ un point et $(d)$ une droite du plan.

Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.

Soit $A'$ le symétrie de $A$ par rapport à $(d)$.

Soit $M$ un point de $(d)$.

Dans le triangle $AMA'$, on a l'inégalité triangulaire : $$AM+MA'\geqslant AA'.$$

Or $MA'=MA$ et $AA'=2\times AH$ par symétrie.

D'où $2\times AM\geqslant 2\times AH$.

Donc $AM\geqslant AH$.

Donc $[AH]$ est donc le segment de longueur minimale rejoignant $A$ à $(d)$.

Soit $DEF$ un triangle d'aire $\SI{14}{\cm^2}$ et tel que $DF=\SI{7}{\cm}$.

On se propose de calculer la distance de $E$ à la droite $(DF)$.

On sait que l'aire d'un triangle est donnée par la formule : $$\frac{base\times hauteur}{2}.$$

Donc la hauteur issue de $E$ est de longueur $\SI{4}{\cm}$.

Par conséquent la distance de $E$ à son projeté orthogonal sur $(DF)$ est de $\SI{4}{\cm}$.

Donc la distance de $E$ à $(DF)$ est de $\SI{4}{\cm}$.

Soient $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites d'origine un point $O$ du plan et soit $A$ un point distinct de $O$ et équidistant de ces deux demi-droites. Soient $M$ et $N$ les projetés orthogonaux de $A$ sur $[Ox)$ et $[Oy)$ respectivement.
  1. Démontrez que $OM^2=ON^2$.
  2. Démontrez que $(OA)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MON}$.
O A M N

  1. $M$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(Ox)$ et $N$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(Oy)$.

    Donc $OAM$ et $OAN$ sont des triangles rectangles en $M$ et $N$.

    D'après le théorème de Pythagore, on a $$OA^2=OM^2+AM^2$$ et $$OA^2=ON^2+AN^2$$

    D'où $$OM^2+AM^2=ON^2+AN^2$$

    Or $AM$ est la distance de $A$ à la droite $(Ox)$ et $AN$ est la distance de $A$ à la droite $(Oy)$.

    Comme $A$ est équidistant de $(Ox)$ et $(Oy)$, on a $AM=AN$.

    Par conséquent $OM^2=ON^2$

  2. Comme $OM^2=ON^2$, on a $OM=ON$.

    $OA$ est commun aux triangles $OAM$ et $OAN$.

    De plus $AM=AN$.

    Donc les triangles $OAM$ et $OAN$ sont égaux.

    Or si deux triangles sont égaux, alors les angles sont deux à deux de même mesure.

    Donc les angles $\widehat{OAM}$ et $\widehat{OAN}$ sont de même mesure.

    Donc $(OA)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MON}$.

$ABC$ est un triangle tel que $AB=\SI{8}{\cm}$, $AC=\SI{11}{\cm}$ et $\widehat{BAC}=30\degree$. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
  1. Calculez $BH$.
  2. Calculez l'aire du triangle $ABC$.
  3. Calculez la distance du point $C$ à $(AB)$.
  4. Calculez la distance du point $C$ à $(BH)$.
Indications :$sin(30\degree)=cos(60\degree)=\dfrac{1}{2}$ et $sin(60\degree)=cos(30\degree)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A C B H H_1

  1. Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.

    $\sin(\widehat{BAH})=\dfrac{BH}{AB}$

    $\sin(30\degree)=\frac{BH}{8}$

    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{BH}{8}$

    $BH=8\times \dfrac{1}{2}$

    $BH=\SI{4}{\cm}$

  2. $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AC\times BH}{2}$

    $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{11\times 4}{2}$

    $\mathcal{A}_{ABC}=\SI{22}{\square\cm}$

  3. Notons $H_1$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

    Exprimons l'aire du triangle $ABC$ d'une manière différente.

    $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times CH_1}{2}$

    $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{8\times CH_1}{2}$

    $\mathcal{A}_{ABC}=4\times CH_1$

    $CH_1=\dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{4}$

    $CH_1=\dfrac{22}{4}$

    $CH_1=\SI{5.5}{\cm}$

    Donc la distance du point $C$ à la droite $(AB)$ est $\SI{5.5}{\cm}$

  4. $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(BH)$.

    Donc la distance du point $C$ à la droite $(BH)$ est $CH$.

    Calculons $AH$.

    Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, on a :

    $\cos(\widehat{BAH})=\dfrac{AH}{AB}$

    $\cos(30\degree)=\dfrac{AH}{8}$

    $\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AH}{8}$

    $AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 8$

    $AH=4\sqrt{3}$

    Or $CH=AC-AH$

    D'où $CH=11-4\sqrt{3}$

    Donc la distance du point $C$ à la droite $(BH)$ est $11-4\sqrt{3}$ en centimètres qui est environ égal à $\SI{4.1}{\cm}$.

$ABC$ est un triangle tel que $AB=8$, $BC=4$ et $AC=4\sqrt{3}$. Soit $D$ le point de $[AC)$ tel que $AD=12$. Soit $E$ le point de $[AB)$ tel que $\widehat{AED}=\ang{60}$.
  1. Démontrez que $C$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AD)$.
  2. Sachant que $\cos(\ang{60})=\frac{1}{2}$, démontrez que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
  3. Montrez que $DE=4\sqrt{3}.$
  1. $$\begin{align*} AC^2&=(4\sqrt{3})^2\\ AC^2&=4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}\\ AC^2&=4^2\times \sqrt{3}^2\\ AC^2&=16\times 3\\ AC^2&=48 \end{align*} $$

    D'une part $$AB^2=8^2=64$$

    D'autre part $$BC^2+AC^2=4^2+48=16+48=64$$

    D'où $$AB^2=BC^2+AC^2$$

    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

    Donc $C$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AD)$.

  2. $ABC$ est rectangle en $C$ d'où :

    $$ \begin{align*} \cos{\widehat{ABC}}&=\frac{BC}{AB}\\ \cos{\widehat{ABC}}&=\frac{4}{8}\\ \cos{\widehat{ABC}}&=\frac{1}{2}\\ \widehat{ABC}&=\ang{60} \end{align*} $$

    On sait que $\widehat{AED}=\ang{60}$.

    Les droites $(BC)$ et $(DE)$ coupent la droite $(AB)$ et forment des angles correspondants de même mesure.

    Donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

  3. $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

    $A$, $B$ et $E$ sont alignés dans le même ordre.

    Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

    D'après le théorème de Thalès, on a :

    $$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$$

    D'où :

    $$\begin{align*} \frac{4\sqrt{3}}{12}=&\frac{4}{DE}\\ DE&=\frac{12}{\sqrt{3}}\\ DE&=\frac{4\times\left(\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}\\ DE&=4\sqrt{3} \end{align*}$$ Remarque : On pouvait aussi utiliser les propriétés des triangles semblables à la place du théorème de Thalès.