Dérivation

Première Spécialité mathématiques

C-02

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Dans chaque cas, déterminez l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

$f(2)=1$ et $f'(2)=3$ pour $a=2$.
$f(-3)=2$ et $f'(-3)=4$ pour $a=-3$.
$f(6)=5$ et $f'(6)=-1$ pour $a=6$.
$f(\frac{1}{2})=3$ et $f'(\frac{1}{2})=2$ pour $a=\frac{1}{2}$.

$$y=3(x-2)+1$$
Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ est $$y=3x-5$$
$$y=4(x+3)+2$$
Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-3$ est $$y=4x+14$$
$$y=-1(x-6)+5$$
Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $6$ est $$y=-x+11$$
$$y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)+3$$
Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ est $$y=2x+2$$

Fonction dérivée

Dire que $f$ est dérivable sur $I$ signifie que $f'(x)$ existe pour tout $x$ de $I$. La fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$.

Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe $x^2+3x-7$. On admettra que $f'(x)=2x+3$. Déterminez l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse :

$2$
$-1$
$3$
$-4$

$$ \begin{align*} f(2)&=2^2+3\times2-7\\ f(2)&=4+6-7\\ f(2)&=3 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f'(2)&=2\times2+3\\ f'(2)&=4+3\\ f'(2)&=7 \end{align*} $$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ est $y=7(x-2)+3$.

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ est $y=7x-11$.
$$ \begin{align*} f(-1)&=(-1)^2+3\times(-1)-7\\ f(-1)&=1-3-7\\ f(-1)&=-9 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f'(-1)&=2\times(-1)+3\\ f'(-1)&=-2+3\\ f'(-1)&=1 \end{align*} $$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ est $$y=1(x+1)-9$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ est $$y=x-10$$
$$ \begin{align*} f(3)&=3^2+3\times3-7\\ f(3)&=9+9-7\\ f(3)&=11 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f'(3)&=2\times3+3\\ f'(3)&=6+3\\ f'(3)&=9 \end{align*} $$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=9(x-3)+11$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=9x-16$$
$$ \begin{align*} f(-4)&=(-4)^2+3\times(-4)-7\\ f(-4)&=16-12-7\\ f(-4)&=-3 \end{align*} $$ $$ \begin{align*} f'(-4)&=2\times(-4)+3\\ f'(-4)&=-8+3\\ f'(-4)&=-5 \end{align*} $$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=-5(x+4)-3$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=-5x+17$$

Les fonctions suivantes sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

$f(x)$	$f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$

$f(x)$	$f'(x)$
$mx$	$m$
$mx+p$	$m$

$f(x)$	$f'(x)$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$

Calculez les nombres dérivés des fonctions suivantes en $3$ et en $-2$.

$f_1(x)=3$
$f_2(x)=2x+1$
$f_3(x)=x^2$
$f_4(x)=x^3$

$$f_1'(x)=0$$
Donc $$f_1'(3)=0$$ et $$f_1'(-2)=0$$
$$f_2'(x)=2$$
Donc $$f_2'(3)=2$$ et $$f_2'(-2)=2$$
$$f_3'(x)=2x$$
Donc $$f_3'(3)=2\times3=6$$ et $$f_3'(-2)=2\times(-2)=-4$$
$$f_4'(x)=3x^2$$
Donc $$f_4'(3)=3\times3^2=27$$ et $$f_4'(-2)=3\times(-2)^2=12$$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$. Déterminez l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

$a=5$
$a=-2$
$a=3$
$a=-4$

$$f'(5)=2\times5=10$$ $$f(5)=5^2=25$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$ est $$y=10(x-5)+25$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$ est $$y=10x-25$$
$$f'(-2)=2\times(-2)=-4$$ $$f(-2)=(-2)^2=4$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ est $$y=-4(x+2)+4$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ est $$y=-4x+4$$
$$f'(3)=2\times3=6$$ $$f(3)=3^2=9$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=6(x-3)+9$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=6x-9$$
$$f'(-4)=2\times(-4)=-8$$ $$f(-4)=(-4)^2=16$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=-8(x+4)+16$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=-8x+48$$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3$. Déterminez l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

$a=5$
$a=-2$
$a=3$
$a=-4$

$$f'(5)=3\times5^2=75$$ $$f(5)=5^3=125$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$ est $$y=75(x-5)+125$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$ est $$y=75x-250$$
$$f'(-2)=3\times(-2)^2=12$$ $$f(-2)=(-2)^3=-8$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ est $$y=12(x+2)-8$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ est $$y=12x+32$$
$$f'(3)=3\times3^2=27$$ $$f(3)=3^3=27$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=27(x-3)+27$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est $$y=27x-54$$
$$f'(-4)=3\times(-4)^2=48$$ $$f(-4)=(-4)^3=-64$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=48(x+4)-64$$

Donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-4$ est $$y=48x+208$$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$. Dans un repère d'unités graphiques $1$ pour $\SI{1}{\cm}$ sur l'axe des abscisses et $2$ pour $\SI{1}{\cm}$ sur l'axe des ordonnées, tracez la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse :

$a=-3$
$a=-1$
$a=2$
$a=4$

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-3$ passe par le point $(-3,f(-3))=(-3,9)$ et a pour coefficient directeur $f'(-3)=2\times(-3)=-6$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ passe par le point $(-1,f(-1))=(-1,1)$ et a pour coefficient directeur $f'(-1)=2\times(-1)=-2$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ passe par le point $(2,f(2))=(2,4)$ et a pour coefficient directeur $f'(2)=2\times2=4$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $4$ passe par le point $(4,f(4))=(4,16)$ et a pour coefficient directeur $f'(4)=2\times4=8$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3$. Dans un repère d'unités graphiques $1$ pour $\SI{1}{\cm}$ sur l'axe des abscisses et $10$ pour $\SI{1}{\cm}$ sur l'axe des ordonnées, tracez la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse :

$a=-3$
$a=-1$
$a=2$
$a=4$

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-3$ passe par le point $(-3,f(-3))=(-3,-27)$ et a pour coefficient directeur $f'(-3)=3\times(-3)^2=27$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-1$ passe par le point $(-1,f(-1))=(-1,-1)$ et a pour coefficient directeur $f'(-1)=3\times(-1)^2=3$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ passe par le point $(2,f(2))=(2,8)$ et a pour coefficient directeur $f'(2)=3\times2^2=12$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $4$ passe par le point $(4,f(4))=(4,64)$ et a pour coefficient directeur $f'(4)=3\times4^2=48$.

Fonctions dérivées et opérations

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un réel, alors :

$(ku)'=k\times u'$

Calculez les fonctions dérivées.

$f_1(x)=3x^2$
$f_2(x)=2x^3$
$f_3(x)=-5x^2$
$f_4(x)=-4x^3$
$f_5(x)=7x^2$
$f_6(x)=-5x^3$

$$f_1'(x)=3\times 2x=6x$$
$$f_2'(x)=2\times 3x^2=6x^2$$
$$f_3'(x)=-5\times 2x=-10x$$
$$f_4'(x)=-4\times 3x^2=-12x^2$$
$$f_5'(x)=7\times 2x=14x$$
$$f_6'(x)=-5\times 3x^2=-15x^2$$

Calculez les fonctions dérivées.

$f_1(x)=\frac{1}{4}x^2$
$f_2(x)=-\frac{2}{3}x^3$
$f_3(x)=\frac{5x^2}{6}$
$f_4(x)=-\frac{4x^3}{6}$

$$f_1'(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$$
$$f_2'(x)=-\frac{2}{3}\times 3x^2=-2x^2$$
$$f_3'(x)=\frac{5}{6}\times 2x=\frac{5}{3}x$$
$$f_4'(x)=-\frac{4}{6}\times 3x^2=-2x^2$$

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ une constante, alors :

$(u+v)'=u'+v' \quad \text{et} \quad (u-v)'=u'-v'$

Calculez les fonctions dérivées.

$f_1(x)=4x^2+2x$
$f_2(x)=9x^2-5$
$f_3(x)=7x^3+3x^2$
$f_4(x)=-6x^3+2x$
$f_5(x)=-3x^2+2x$

$$f_1'(x)=4\times 2x+2=8x+2$$
$$f_2'(x)=9\times 2x=18x$$
$$f_3'(x)=7\times 3x^2+3\times 2x=21x^2+6x$$
$$f_4'(x)=-6\times 3x^2+2=-18x^2+2$$
$$f_5'(x)=-3\times 2x+2=-6x+2$$

Calculez les fonctions dérivées.

$f_1(x)=x^3-2x+7$
$f_2(x)=-3x^3+4x^2-5$
$f_3(x)=2x^3-3x^2+4x$
$f_4(x)=-5x^3+3x-4$
$f_5(x)=7x^3-2x^2+5$
$f_6(x)=-4x^3+4x^2-9x$

$$f_1'(x)=3x^2-2$$
$$f_2'(x)=-3\times 3x^2+4\times 2x=-9x^2+8x$$
$$f_3'(x)=2\times 3x^2-3\times 2x+4=6x^2-6x+4$$
$$f_4'(x)=-5\times 3x^2+3=-15x^2+3$$
$$f_5'(x)=7\times 3x^2-2\times 2x=21x^2-4x$$
$$f_6'(x)=-4\times 3x^2+4\times 2x-9=-12x^2+8x-9$$

Application de la dérivation

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si sur $I$, $f$ est :

croissante, alors $f'$ est positive sur $I$ ;
décroissante, alors $f'$ est négative sur $I$.

Dans chaque cas, recopiez et complétez le signe de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ ; puis écrire les valeurs connues de $f$.

$x$	$-4$		$-1$		$2$		$4{,}5$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
	$-5$				$12$
$f$
			$-15$				$7$

$x$	$-4$		$-2$		$1$		$4{,}5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
			$-5$				$2$
$f$
	$-12$				$-7$