Second degré
Première Spécialité mathématiques
A-01

Introduction

Quiz synthèse : Vrai/Faux

Polynôme du second degré

On appelle polynôme du second degré toute expression pouvant s'écrire sous la forme développée réduite
$ax^2+bx+c$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq0$.
Indiquez si c'est un polynôme du second degré. Le cas échéant déterminez $a$, $b$ et $c$.
  1. $4x^2-5x+2$
  2. $-3x^2+7x$
  3. $\dfrac{4x^2}{5}-12$
  4. $3x^2+7-3x^2+4x$
  5. $5x(x+2)$
  6. $(x+3)(x-4)$
  7. $(x+2)^2$
  8. $(3x+7)(3x-7)$
  9. $2(x-3)^2$
  10. $\dfrac{10x^2+8x-3}{2}$
  11. $\dfrac{1}{3x^2-5x+2}$
  12. $-7x+6-5x^2$
  13. $11x\times 5x$
  14. $3(2x+1)(8-x)$

  • $4x^2-5x+2 = 4x^2+(-5)x+2$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=4$, $b=-5$ et $c=2$.

  • $-3x^2+7x = -3x^2+7x+0$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=-3$, $b=7$ et $c=0$.

  • $\dfrac{4x^2}{5}-12 = \dfrac{4}{5}x^2+0x-12$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=\dfrac{4}{5}$, $b=0$ et $c=-12$.

  • $3x^2+7-3x^2+4x = 4x+7$.

    Donc ce n'est pas un polynôme du second degré.

  • $5x(x+2) = 5x^2+10x$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=5$, $b=10$ et $c=0$.

  • $(x+3)(x-4) = x^2-4x+3x-12 = x^2-x-12$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-12$.

  • $(x+2)^2 = x^2+4x+4$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=1$, $b=4$ et $c=4$.

  • $(3x+7)(3x-7) = 9x^2-49$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=9$, $b=0$ et $c=-49$.

  • $2(x-3)^2 = 2(x^2-6x+9) = 2x^2-12x+18$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-12$ et $c=18$.

  • $\dfrac{10x^2+8x-3}{2} = 5x^2+4x-\dfrac{3}{2}$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=5$, $b=4$ et $c=-\dfrac{3}{2}$.

  • $\dfrac{1}{3x^2-5x+2}$.

    Ce n'est pas un polynôme du second degré.

  • $-7x+6-5x^2 = -5x^2-7x+6$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=-5$, $b=-7$ et $c=6$.

  • $11x\times 5x = 55x^2$.

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=55$, $b=0$ et $c=0$.

  • $$ \begin{align*} 3(2x+1)(8-x)&=3(16x-2x^2+8-x)\\ 3(2x+1)(8-x)&=3(-2x^2+15x+8)\\ 3(2x+1)(8-x)&=-6x^2+45x+24 \end{align*} $$

    Donc c'est un polynôme du second degré avec $a=-6$, $b=45$ et $c=24$.

Forme canonique

Tout polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme dite canonique
$a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$
où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré.
  1. Q1a
  2. Q1b
  3. Q1c
  4. Q1d
Voici la forme canonique de plusieurs polynômes du second degré. Déterminez $\alpha$ et $\beta$.
  1. $3\left(x-2\right)^2+5$
  2. $-2\left(x+3\right)^2-4$
  3. $4\left(x+1\right)^2-3$
  4. $6x^2-12$
  5. $-5\left(x-4\right)^2+7$
  6. $-(x-5)^2$
  1. $$3\left(x-2\right)^2+5$$

    $\alpha=2$ et $\beta=5$.

  2. $$-2\left(x+3\right)^2-4$$

    $\alpha=-3$ et $\beta=-4$.

  3. $$4\left(x+1\right)^2-3$$

    $\alpha=-1$ et $\beta=-3$.

  4. $$6x^2-12=6\left(x-0\right)^2-12$$

    $\alpha=0$ et $\beta=-12$.

  5. $$-5\left(x-4\right)^2+7$$

    $\alpha=4$ et $\beta=7$.

  6. $$-(x-5)^2=-1\left(x-5\right)^2+0$$

    $\alpha=5$ et $\beta=0$.

Voici plusieurs polynômes du second degré. Déterminez la forme canonique de chacun d'eux en utilisant une identité remarquable.
  1. $-2(x^2-4x+4)+9$
  2. $3(x^2+12x+36)-27$
  3. $-4(x^2-18x+81)+64$
  4. $5(x^2+10x+25)-100$
  1. $$ \begin{align*} -2(x^2-4x+4)+9&=-2(x-2)^2+9\\ -2(x^2-4x+4)+9&=-2(x-2)^2+9 \end{align*} $$
  2. $$ \begin{align*} 3(x^2+12x+36)-27&=3(x+6)^2-27\\ 3(x^2+12x+36)-27&=3(x+6)^2-27 \end{align*} $$
  3. $$ \begin{align*} -4(x^2-18x+81)+64&=-4(x-9)^2+64\\ -4(x^2-18x+81)+64&=-4(x-9)^2+64 \end{align*} $$
  4. $$ \begin{align*} 5(x^2+10x+25)-100&=5(x+5)^2-100\\ 5(x^2+10x+25)-100&=5(x+5)^2-100 \end{align*} $$
Voici plusieurs polynômes du second degré. Déterminez la forme canonique de chacun d'eux en mettant en évidence une identité remarquable.
  1. $x^2-6x+24$
  2. $x^2+8x-6$
  3. $x^2+16x+89$
  4. $x^2-18x-80$
  1. $$ \begin{align*} x^2-6x+24&=x^2-6x+9+15\\ x^2-6x+24&=(x-3)^2+15 \end{align*} $$
  2. $$ \begin{align*} x^2+8x-6&=x^2+8x+16-22\\ x^2+8x-6&=(x+4)^2-22 \end{align*} $$
  3. $$ \begin{align*} x^2+16x+89&=x^2+16x+64+25\\ x^2+16x+89&=(x+8)^2+25 \end{align*} $$
  4. $$ \begin{align*} x^2-18x-80&=x^2-18x+81-161\\ x^2-18x-80&=(x-9)^2-161 \end{align*} $$

Racine

On appelle racine du polynome du second degré $ax^2+bx+c$ toute solution de l'équation
$ax^2+bx+c=0$
Déterminer une racine évidente d'un polynôme du second degré : Q2
Déterminez les racines.
  1. $2(x-3)(x+4)$
  2. $5(2x-8)(x-5)$
  3. $(x-2)(7-x)$
  4. $(6x+3)(2x-1)$

  • $2(x-3)(x+4)=0$ est une équation produit nul.

    Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

    Donc $x-3=0$ ou $x+4=0$.

    Soit $x=3$ ou $x=-4$.

    Donc les racines de $2(x-3)(x+4)$ sont $3$ et $-4$.

  • $5(2x-8)(x-5)=0$ est une équation produit nul.

    Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

    Donc $2x-8=0$ ou $x-5=0$.

    Soit $x=4$ ou $x=5$.

    Donc les racines de $5(2x-8)(x-5)$ sont $4$ et $5$.

  • $(x-2)(7-x)=0$ est une équation produit nul.

    Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

    Donc $x-2=0$ ou $7-x=0$.

    Soit $x=2$ ou $x=7$.

    Donc les racines de $(x-2)(7-x)$ sont $2$ et $7$.

  • (6x+3)(2x-1) est une équation produit nul.

    Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

    Donc $6x+3=0$ ou $2x-1=0$.

    $$ \begin{align*} 6x+3&=0\\ 6x&=-3\\ x&=-\dfrac{3}{6}\\ x&=-\dfrac{1}{2} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} 2x-1&=0\\ 2x&=1\\ x&=\dfrac{1}{2} \end{align*} $$

    Donc les racines de $(6x+3)(2x-1)$ sont $-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

Déterminez une racine évidente.
  1. $3x^2-6x$
  2. $5x^2-4x-1$
  3. $5x^2+4x-1$
  4. $x^2+3x-10$
  • $0$ est une racine évidente de $3x^2-6x$.
  • $1$ est une racine évidente de $5x^2-4x-1$.
  • $-1$ est une racine évidente de $5x^2+4x-1$.
  • $2$ est une racine évidente de $x^2+3x-10$.
Si un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ admet deux racines alors :
Utiliser la somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré pour déterminer des racines :
  1. Q3a
  2. Q3b
Les racines des polynômes du second degré suivants sont entières. Déterminez les racines en utilisant le produit et la somme des racines.
  1. $2x^2 - 10x + 12$
  2. $3x^2 - 3x - 60$
  3. $x^2 + 10x + 21$
  4. $-x^2 - 5x + 24$

  1. On a $a=2$, $b=-10$, et $c=12$.

    Le produit des racines est $\frac{12}{2} = 6$.

    Les possibilités pour le produit sont :

    • $1 \times 6 = 6$

    • $2 \times 3 = 6$

    • $-1 \times (-6) = 6$

    • $-2 \times (-3) = 6$

    La somme des racines est $-\frac{-10}{2} = 5$.

    Les possibilités pour la somme sont :

    • $1 + 6 = 7$

    • $2 + 3 = 5$

    • $-1 - 6 = -7$

    • $-2 - 3 = -5$

    La seule solution est $2 \times 3 = 6$ et $2 + 3 = 5$. Donc, les racines sont $2$ et $3$.

  2. On a $a=3$, $b=-3$, et $c=-60$.

    Le produit des racines est $\frac{-60}{3} = -20$.

    Les possibilités pour le produit sont :

    • $1 \times (-20) = -20$

    • $2 \times (-10) = -20$

    • $4 \times (-5) = -20$

    • $-1 \times 20 = -20$

    • $-2 \times 10 = -20$

    • $-4 \times 5 = -20$

    La somme des racines est $-\frac{-3}{3} = 1$.

    Les possibilités pour la somme sont :

    • $1 + (-20) = -19$

    • $2 + (-10) = -8$

    • $4 + (-5) = -1$

    • $-1 + 20 = 19$

    • $-2 + 10 = 8$

    • $-4 + 5 = 1$

    La seule solution est $-4 \times 5 = -20$ et $-4 + 5 = 1$. Donc, les racines sont $-4$ et $5$.

  3. On a $a=1$, $b=10$, et $c=21$.

    Le produit des racines est $\frac{21}{1} = 21$.

    Les possibilités pour le produit sont :

    • $1 \times 21 = 21$

    • $3 \times 7 = 21$

    • $-1 \times (-21) = 21$

    • $-3 \times (-7) = 21$

    La somme des racines est $-\frac{10}{1} = -10$.

    Les possibilités pour la somme sont :

    • $1 + 21 = 22$

    • $3 + 7 = 10$

    • $-1 - 21 = -22$

    • $-3 - 7 = -10$

    La seule solution est $-3 \times (-7) = 21$ et $-3 + (-7) = -10$. Donc, les racines sont $-3$ et $-7$.

  4. On a $a=-1$, $b=-5$, et $c=24$.

    Le produit des racines est $\frac{24}{-1} = -24$.

    Les possibilités pour le produit sont :

    • $1 \times (-24) = -24$

    • $2 \times (-12) = -24$

    • $3 \times (-8) = -24$

    • $4 \times (-6) = -24$

    • $-1 \times 24 = -24$

    • $-2 \times 12 = -24$

    • $-3 \times 8 = -24$

    • $-4 \times 6 = -24$

    La somme des racines est $-\frac{-5}{-1} = -5$.

    Les possibilités pour la somme sont :

    • $1 + (-24) = -23$

    • $2 + (-12) = -10$

    • $3 + (-8) = -5$

    • $4 + (-6) = -2$

    • $-1 + 24 = 23$

    • $-2 + 12 = 10$

    • $-3 + 8 = 5$

    • $-4 + 6 = 2$

    La seule solution est $3 \times (-8) = -24$ et $3 + (-8) = -5$. Donc, les racines sont $3$ et $-8$.

Forme factorisée

Si un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors il peut s'écrire sous la forme factorisée suivante
$a(x-x_1)(x-x_2)$
Déterminer la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ d'un polynôme du second degré factorisé : Q4
Ecrivez le polynôme sous forme factorisée.
  1. Les racines de $7x^2+7x-42$ sont $-3$ et $2$.
  2. Les racines de $-3x^2+3x+6$ sont $-1$ et $2$.
  3. Les racines de $x^2-9x+20$ sont $4$ et $5$.
  4. Les racines de $2x^2-5x-3$ sont $3$ et $-\dfrac{1}{2}$.

  • Le polynôme $7x^2+7x-42$ admet les racines $-3$ et $2$.

    On a $a=7$, $b=7$ et $c=-42$.

    Donc il peut s'écrire sous la forme factorisée $7(x+3)(x-2)$.

  • Le polynôme $-3x^2+3x+6$ admet les racines $-1$ et $2$.

    On a $a=-3$, $b=3$ et $c=6$.

    Donc il peut s'écrire sous la forme factorisée $-3(x+1)(x-2)$.

  • Le polynôme $x^2-9x+20$ admet les racines $4$ et $5$.

    On a $a=1$, $b=-9$ et $c=20$.

    Donc il peut s'écrire sous la forme factorisée $(x-4)(x-5)$.

  • Le polynôme $2x^2-5x-3$ admet les racines $3$ et $-\dfrac{1}{2}$.

    On a $a=2$, $b=-5$ et $c=-3$.

    Donc il peut s'écrire sous la forme factorisée $2(x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$.

Déterminez la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
  1. $(3x+9)(x-5)$
  2. $(x+8)(5x-10)$
  3. $(7-x)(x-3)$
  4. $(x+4)(-x-8)$
  5. $(2x+4)(3x-6)$
  6. $7(4x-8)(x-3)$
  1. $$(3x+9)(x-5)=3(x+3)(x-5)$$
  2. $$(x+8)(5x-10)=(x+8)\times 5(x-2)=5(x+8)(x-2)$$
  3. $$(7-x)(x-3)=-(x-7)(x-3)$$
  4. $$(x+4)(-x-8)=-(x+4)(x+8)$$
  5. $$(2x+4)(3x-6)=2(x+2)\times 3(x-2)=6(x+2)(x-2)$$
  6. $$7(4x-8)(x-3)=7\times 4(x-2)(x-3)=28(x-2)(x-3)$$
Déterminez la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
  1. $3x^2-6x$
  2. $-5x^2+35x$
  3. $3x^2-147$
  4. $-2x^2+6$
  1. $(x-3)(2x+7)+(x-3)(3-x)$
  2. $(2x-5)(x+6)-(x+6)(x-5)$
  1. $$3x^2-6x=3x(x-2)$$
  2. $$-5x^2+35x=-5x(x-7)$$
  3. $$3x^2-147=3(x-7)(x+7)$$
  4. $$-2x^2+6=-2(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$
  5. $$ \begin{align*} (2x-5)(x+6)-(x+6)(x-5)&=(x+6)(2x-5-(x-5))\\ (2x-5)(x+6)-(x+6)(x-5)&=(x+6)(2x-5-x+5)\\ (2x-5)(x+6)-(x+6)(x-5)&=(x+6)x=x(x+6) \end{align*} $$
  6. $$ \begin{align*} (x-3)(2x+7)+(x-3)(3-x)&=(x-3)(2x+7+3-x)\\ (x-3)(2x+7)+(x-3)(3-x)&=(x-3)(x+10) \end{align*} $$
Si un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ admet une seule racine appelée racine double $x_0$, alors il peut s'écrire sous la forme factorisée suivante
$a(x-x_0)^2$
Déterminer la forme factorisée $a(x-x_0)^2$ en utilisant une identité remaruqable d'un polynôme du second degré : Q5
Les polynômes du second degré suivants possèdent une racine double. Factorisez par $a$ puis utilisez une identité remarquable pour les écrire sous la forme factorisée.
  1. $7x^2-42x+63$
  2. $-2x^2+8x-8$.
  3. $5x^2+40x+80$
  4. $-3x^2-6x-3$
  1. $$ \begin{align*} 7x^2-42x+63&=7(x^2-6x+9)\\ 7x^2-42x+63&=7(x^2-2\times3x+3^2)\\ 7x^2-42x+63&=7(x-3)^2 \end{align*} $$
  2. $$ \begin{align*} -2x^2+8x-8&=-2(x^2-4x+4)\\ -2x^2+8x-8&=-2(x^2-2\times2x+2^2)\\ -2x^2+8x-8&=-2(x-2)^2 \end{align*} $$
  3. $$ \begin{align*} 5x^2+40x+80&=5(x^2+8x+16)\\ 5x^2+40x+80&=5(x^2+2\times4x+4^2)\\ 5x^2+40x+80&=5(x+4)^2 \end{align*} $$
  4. $$ \begin{align*} -3x^2-6x-3&=-3(x^2+2x+1)\\ -3x^2-6x-3&=-3(x^2+2x+1^2)\\ -3x^2-6x-3&=-3(x+1)^2 \end{align*} $$